Отцовство в судебном порядке можно установить на основании всяких имеющих отношение к этому доказательств например: фотографии, денежные переводы, совместные покупки, показания свидетелей.
Денежные затраты несет тот, кто об этом заявляет. В частности, если вы заявите ходатайство о проведении геномной экспертизы, то вы и будете её оплачивать. Но можно заявить о своем затруднительном материальном положении и попросить суд оплатить её за счет государства. В последствии эту экспертизу оплачивает "проигравшая" сторона, то есть если факт отцовства не подтверждается, то платите вы. И наоборот. Эта экспертиза стоит от 20 тыс. р. и выше.